中学校の数学の中で多くの人がつまづく内容に、関数と図形があります。1次関数は図形との融合問題や点が動く問題など、図形では作図、証明、円の性質など小学校よりも難易度がかなり上がっているように感じるのではないでしょうか？
本当に図形の力がついたというのは、図形の問題を見た時に、頭の中で点を動かしたり、図形の切断をイメージできたり、回転できたりするようになることです。
これは、小さい頃に積み木で遊んだり、タングラムなどの図形の積み木で遊んだりという体験も必要なので、そんなことしていないからできなくて当然というわけではなく、今からでも図形のパズルで遊んでください。
そうかと言ってパズルなどで図形に触れる機会もあまりないと思いますので、図形ができるようになる5つのポイントを紹介します。
① 定義や定理、性質、条件を正確に覚える。
② 図に角度や長さを書き込む。
③ 図形の問題に触れ、補助線の引き方の感覚を身に付ける。
④ 合同な三角形や相似の関係になっている三角形を見つける。
⑤ ヒントになる角度や長さに気づくことができるようになる。
この後はそれぞれのことについて書いていきます。図形が苦手な人は①→⑤の順で練習をしていきましょう。
定義や定理、性質、条件を正確に覚える。
図形が苦手な場合は、まずはしっかりと定義、定理、性質、条件などを正確に覚えましょう。
今この記事を読みながら、中学2年生の場合は平行性の同位角や錯角、二等辺三角形の定義、性質、条件、平行四辺形の定義、性質、条件、その他の四角形の性質などを正確に言えるのか紙に書いてみてください。中学3年生の場合は、中学2年で学習した内容にプラスして、相似条件や相似な図形の性質、三平方の定理、円周角の性質など書きましょう。中学1年生は、移動の種類、扇形の面積と弧の長さの公式、作図など書いてみてください。
教科書にある通り書けたでしょうか？もし書けなかった、曖昧で正確には書けていなかったという場合には、まずはしっかりと覚えましょう。
数学全般に言えるのですが、数学は定義から新しい定理を作り上げきた歴史があります。なので、出発点を正確に把握していなければどんなに練習してもできるようにはなりません。
そして、覚えたことを使えるようになるために、教科書の問題から再度解いていきましょう。教科書の問題がしっかりと出来るようになったら問題集などで基本の問題を解きましょう。それでできりるようになったら次の段階へステップです。
図に角度や長さなどを書き込む。
次の段階へステップする前に、もう一度自分の解いた跡を見てください。図に角度や長さを書き込んでいますか？もしくは同じ大きさの角度や同じ長さの辺に印をつけていますか？辺と辺の平行も書き込んでいますか？
図形のいい点は図に書き込むことができるところです。書き込むことで、合同もしくは相似な図形が見えてきたり、問題文中には書かれていないけど、求めることができる角度や辺の長さ（辺の長さは三平方の定理を使って求めることが多いですが。）がわかります。
私も多くの子ども達に数学を教えてきましたが、学校であろうと塾であろうと図形が苦手な人は図が本当にきれいでした。問題を読みながら同時に図に書き込んでいく。できていない人はその癖をつけましょう。
これまでの2つのことを実践していくと、図形の問題の小問や大問の1・2程度のレベルの問題は解けるようになります。1問4点だとしたら12点もアップします。図形が苦手な人は性質など正確に覚えて、図に書き込みながら基本的な問題を解いていくようにしましょう。
図形の問題に触れ、補助線のひき方の感覚を身に付ける。
ここから次のステップです。学校でも塾でも先生に図に書き込めと言われていて、しっかりと書き込んでいます。でも補助線のひき方がわかりません。という人もいるでしょう。この問題はここに引く、この場合はこの辺を伸ばすとある程度のパターンはありますが、すべて覚えるのは大変です。
学校や塾の先生たちが補助線の引き方を見つけられるのは何故か？
学校や塾の先生が補助線の引き方を見つけることができるのは、それだけ多くの問題を解いてきているからです。私も15年数学を教えてきましたが、ほぼ毎日数学の問題を解いてきました。質問で持ってくる問題、入試問題、テストのために問題も作っていました。
中学生の皆さんより何十倍と数学の問題を解いてきているので、補助線を引くことができるのです。なので皆さんも練習あるのみです。
補助線の引き方のコツ
練習あるのみで結論付けてしまうと、ただモヤモヤだけが残ってこの記事を読まなければよかった。となりますので、補助線を引く際のコツを紹介します。それは次の点です。
① 垂線、30°、45°、60°となるように線を引いてみる。
② 平行線を引いてみる。
③ 円の問題の場合、中心を通る直線（直径や半径）を引いてみる
垂線、30°、45°、60°となるように線を引いてみる。
①の場合は主に中学3年生ですが、三平方の定理で特別な三角形の場合の辺の比を学習していますので、例えば、三角形で90°と60°ということがわかれば、すべての辺の長さを求めることはできます。
平行線を引いてみる。
②の場合は平行線の錯角や同位角を使うことができるからです。また、同じ大きさの面積も探すことにもつながりますので、意外とできない平行線を引いてみるということも意識してください。
円の問題の場合、中心を通る直線（直径や半径）を引いてみる
円の性質のいい点で、半径はどこも長さが一緒なので、二等辺三角形や正三角形を作りやすいことです。また、円周角の性質で直径に対する円周角は90°になるので、三平方の定理なども使えるようなります。円の問題の場合には中心を通る直線を引いてみることをお勧めします。
補助線の引き方のまとめ
補助線を引く場合には上の3つのポイント意識して問題を解くだけでかなり補助線を引くことができるようになります。最初は気づかないかもしれませんが、問題を解いていくとそれが見えてくるようになります。そのレベルまでくると図形の問題はかなりできるでしょう。
合同な三角形や相似の関係になっている三角形を見つける。
問題を解いていく中で、補助線の引き方と同じぐらい使うのが、合同な図形がないか？これの2つの三角形は相似な図形になっていないか？という視点で問題を解いていくことです。
この2つのうちのどれかがわかれば、辺の比や対応する辺や角などで求めることができます。するとドンドン同じ角度や辺の長さなどがわかり、一見難しく見えていた問題が意外と簡単に感じるようになるはずです。
補助線を引くと同時に合同や相似な図形を見つけていく視点で問題を解いてください。
ヒントになる角度や長さに気づくことができるようになる。
入試問題や模試で多いのが、30°、45°、60°、90°という角度です。問題文中にこの角度が出てきたら、三平方の定理を使いなさい。正三角形を使いなさい。と言っているのと同じです。平行だったら、錯角や同位角は同じですよ。と教えてくれています。
読解力も必要になりますが、図形が苦手な人はこのことに気づかない場合が多いので、問題を読むときに意識するようにしてください。
ここまでできるようになると本当に力がついてきています。最後の面積を求める問題などにも挑戦していってください。その問題の解き方や考え方は別の記事で紹介していきますので、まずは大問で7割以上はできるようになってください。
作図が苦手
作図が苦手でできないという場合は、次のことを意識して問題を読みましょう。そして、それがわかるようになって作図をすると、意外と簡単にできますよ。
① 2点からの同じ長さの・・・は垂直二等分線
② 2つの辺から同じ距離に・・・角の二等分線
③ 45°・・・垂線+角の二等分線
④ 最短で・・・直線
⑤ 長さを二等分して・・・垂直二等分線
などを意識して問題を読んでください。小学校から中学校までに習う作図は4つです。垂直二等分線、角の二等分線、垂線、正三角形（60°の作図）です。主にこの4つを組み合わせて問題を解いていきますので、パターンをしっかりと覚えるようにしていけば作図はできるようになります。
最後に
図形が苦手な人は本当に多いです。自分がどこからできていないのかもう一度これまで自分が解いてきたテストや模試など見てください。
2017年の鹿児島県の入試問題を紹介しますが、これまで書いてきたことを実践してできるようになれば、3問は解けます。今自分はどのレベルにあるのかまずは1回やってみて、足りないところから再度やり直していけば大丈夫。そして苦手な図形を克服して自分の武器にしてください。
次のテストや模試で図形の問題で過去最高点が取れることを願っています。
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